Графические приемы решения систем уравнений с параметрами. «Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами. Задача для самостоятельного решения

Отделкина Ольга ученица 9 класса

Эта тема является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Цель данной работы более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Этот реферат поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Введение2

Глава 1. Уравнения с параметром

История возникновения уравнений с параметром3

Теорема Виета4

Основные понятия5

Глава 2. Виды уравнений с параметрами.

Линейные уравнения6

Квадратные уравнения…………………………………………....................7

Глава 3. Методы решения уравнений с параметром

Аналитический метод….……………………………………………….......8

Графический метод. История возникновения….…………………………9

Алгоритм решения графическим методом..…………….....…………….10

Решение уравнения с модулем……………...…………………………….11

Практическая часть……………………...………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………….19

Список литературы………………………………………………………………20

Введение.

Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Мой реферат поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.

В современной жизни изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

Для решения таких уравнений графический метод является весьма эффективным, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра α.

Задачи с параметрами представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Они обладают диагностической ценностью, так как с помощью них можно проверить знание основных разделов математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса математики в высших учебных заведениях.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов, ведь уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают в список заданий на едином государственном экзамене ЕГЭ.

История возникновения уравнений с параметром

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

αх 2 + bx = c, α>0

В уравнении коэффициенты, кроме параметра , могут быть и отрицательными.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми.

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c.

3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = αx 2 .

Формулы решения квадратных уравнений по ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

Вывод формулы решения квадратного уравнения с параметром в общем виде имеется у Виета, однако Виета признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Теорема Виета

Теорема, выражающая связь между параметрами, коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если b + d, умноженное на α минус α 2 , равно bc, то α равно b и равно d».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что α, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное (наше х), гласные же b, d - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:

Если имеет место

(α + b)x - x 2 = αb,

Т. е. x 2 - (α -b)x + αb =0,

то x 1 = α, x 2 = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виета установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Основные понятия

Параметр - независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.

Уравнение с параметром — математическое уравнение , внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает для каждого значения найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению, а также:

1. 1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2. 2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Рассмотрим уравнение α(х+k)= α +c, где α, c, k, x -переменные величины.

Системой допустимых значений переменных α, c, k, x называется любая система значений переменных, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения.

Пусть А - множество всех допустимых значений α, K- множество всех допустимых значений k, Х - множество всех допустимых значений х, C- множество всех допустимых значений c. Если у каждого из множеств A, K, C, X выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению α, k, c, и подставить их в уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные α, k, c, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: α, b, c, d, …, k , l, m, n, а неизвестные - буквами x, y,z.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными , если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Виды уравнений с параметрами

Уравнения с параметрами бывают: линейные и квадратные.

1)Линейное уравнение. Общий вид:

α х = b, где х - неизвестное; α , b - параметры.

Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра α является значение α = 0.

1.Если, а ≠0 , то при любой паре параметров α и b оно имеет единственное решение х = .

2.Если, а =0,то уравнение принимает вид:0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b =0 уравнение примет вид:0 х =0.

Решением данного уравнения является любое действительное число.

Квадратное уравнение с параметром.

Общий вид:

α x 2 + bx + c = 0

где параметр α ≠0, b и с — произвольные числа

Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

Корни квадратного уравнения находятся по формулам

Выражение D = b 2 - 4 α c называют дискриминантом.

1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

2. Если D < 0 — уравнение не имеет корней.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня.

Методы решения уравнений с параметром:

1. Аналитический - способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметров.
2. Графический - в зависимости от условия задачи рассматривается положение графика соответствующей квадратичной функции в системе координат.

Аналитический метод

Алгоритм решения:

1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами аналитическим методом, нужно разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра α =1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра α =1 искомым для данной задачи.

Пример 1. Решить относительно Х линейное уравнение с параметром m :

По смыслу задачи (m-1)(x+3) = 0, то есть m = 1, x = -3.

Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение

Получаем

Отсюда при m= 2,25 .

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых

найденное значение x равно -3.

решая это уравнение, получаем, что х равен -3 при m = -0,4.

Ответ: при m=1, m =2,25.

Графический метод. История возникновения

Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. При таком характере не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь)

Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им "линией интенсивностей" или "линией верхнего края» (график соответствующей функциональной зависимости). Оресм изучал даже "плоскостные" и "телесные" качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.

Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.

Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций - неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.

Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.

Алгоритм решения графическим методом

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции .

Алгоритм графического решения уравнений с параметром:

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем α как функцию от х.
3. В системе координат строим график функции α (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой α =с, с графиком функции

α (х). Если прямая α =с пересекает график α (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = α (х) относительно х.

1. Записываем ответ

Решение уравнений с модулем

При решении уравнений с модулем, содержащих параметр, графическим способом, необходимо построить графики функций и при различных значениях параметра рассмотреть все возможные случаи.

Например, │х│= а,

Ответ: если а < 0, то нет корней, а > 0, то х = а , х = - а, если а = 0, то х =0.

Решение задач.

Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | - 2 | = a в зависимости от параметра a ?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | - 2 | и y = a . График функции y = | | x | - 2 | изображен на рисунке.

Графиком функции y = α a = 0).

Из графика видно, что:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | - 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x 1,2 = + 2).
Если 0 < a < 2, то прямая y = α имеет с графиком функции y = | | x | - 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.
Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

Ответ: если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 2, то два корня;
если a = 2, то три корня;
если 0 < a < 2, то четыре корня.

Задача 2. Сколько корней имеет уравнение | x 2 - 2| x | - 3 | = a в зависимости от параметра a ?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | x 2 - 2| x | - 3 | и y = a .

График функции y = | x 2 - 2| x | - 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = α является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).

Из графика видно:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | x2 - 2| x | - 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x 2 - 2| x | - 3 | две общие точки при a > 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет два корня.
Если 0 < a < 3, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | x 2 - 2| x | - 3 | четыре общие точки, а также прямая y= a будет иметь с графиком построенной функции четыре общие точки при a = 4. Значит, при 0 < a < 3, a = 4 исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно, уравнение имеет пять корней.
Если 3 < a < 4, прямая y = α пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Если a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α не пересекает график функции y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Ответ: если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 4, то два корня;
если 0 < a < 3, a = 4, то четыре корня;

если a = 3, то пять корней;
если 3 < a < 4, то шесть корней.

Задача 3. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a ?

Решение. Построим в системе координат (x; y) график функции

но сначала представим ее в виде:

Прямые x = 1, y = 1 являются асимптотами графика функции. График функции y = | x | + a получается из графика функции y = | x | смещением на a единиц по оси Oy.

Графики функций пересекаются в одной точке при a > - 1; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет одно решение.

При a = - 1, a = - 2 графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях параметра уравнение (1) имеет два корня.
При - 2 < a < - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Ответ: если a > - 1, то одно решение;
если a = - 1, a = - 2, то два решения;
если - 2 < a < - 1, a < - 1, то три решения.

Замечание. При решении уравнения задачи особо следует обратить внимание на случай, когда a = - 2, так как точка (- 1; - 1) не принадлежит графику функции но принадлежит графику функции y = | x | + a .

Задача 4. Сколько корней имеет уравнение

x + 2 = a | x - 1 |

в зависимости от параметра a ?

Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем данного уравнения, так как равенство 3 = a 0 не может быть верным ни при каком значении параметра a . Разделим обе части уравнения на | x - 1 |(| x - 1 | 0), тогда уравнение примет вид В системе координат xOy построим график функции

График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

Для того чтобы наиболее полно раскрыть возможности этого метода, будем рассматривать основные типы задач.

Образцы заданий при отработке знаний и умений при решении задач с параметрами графическим методом (координатная плоскость )

Задание 1.

При каких значениях a уравнение = имеет два корня?

Решение.

Переходим к равносильной системе:

Эта система на координатной плоскости (;) задаёт кривую. Ясно, что все точки этой дуги параболы (и только они) имеют координаты, удовлетворяющие исходному уравнению. Поэтому число решений уравнения при каждом фиксированном значении параметра , равно количеству точек пересечения кривой с горизонтальной прямой, соответствующей этому значению параметра.

Ответ: при.

Задание 2.

Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение.

Решение.

Перепишем исходную систему в таком виде:

Все решения этой системы (пары вида) образуют область, показанную на рисунке штриховкой. Требование единственности решения данной системы на графический язык переводится так: горизонтальные прямые должны иметь с полученной областью только одну общую точку. Легко заметить, что лишь прямые и удовлетворяют выдвинутому требованию.

Только что разобранные две задачи позволяют дать более конкретные рекомендации по сравнению с приведёнными раннее:

попытаться выразить параметр через переменную, т. е получить равенства вида, затем

на плоскости строить график функции.

Задание 3.

При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня?

Решение.

Имеем

График этой совокупности – объединение «уголка» и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трёх точках.

Замечание: Параметр обычно рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причём «равноправная» с другими, присутствующими в задаче. При таком взгляде на параметр формы задают функции не с одной, а с двумя переменными.

Задание 4.

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет одно решение.

Решение.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Находим корни квадратного трёхчлена:

Ответ : и.

Задание 5.

При каких значениях параметра, а уравнение имеет единственное решение.

Решение.

Запишем систему, равносильную исходному уравнению

Отсюда получаем

Строим график и будем проводить прямые перпендикулярные оси а .

Первые два неравенства системы задают множество точек, показанное штриховкой, причём в это множество не входят гиперболы и.

Ответ : 2 < < или < или = .

Задание 6.

Найти все значения параметра а , при которых уравнение

имеет ровно два различных решения

Решение.

Рассмотрим совокупность двух систем

Если , то.

Если < , то.

Отсюда

или

Параболы и прямая имеют две общие точки: А (-2; - 2), В (-1; -1), причём, В – вершина первой параболы, D – вершина второй. Итак, график исходного уравнения показан на рисунке.

Должно быть ровно два различных решения. Это выполняется при или.

Ответ: или.

Задание 7.

Найдите множество всех чисел, для каждого из которых уравнение

имеет только два различных корня.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде

Корни уравнения, при условии, что.

Строим график данного уравнения. В данном случае график удобно строить, отнеся переменной ось ординат. Здесь ответ «считываем» вертикальными прямыми, получим, что данное уравнение имеет только два различных корня при = -1 или или.

Ответ: при = -1 или или.

Задание 8.

Для каких в множестве решений неравенства содержится промежуток.

Решение.

Запишем совокупность двух систем, равносильную исходному уравнению:

или

Поскольку в решение первой системы ни а не может входить отрезок, то необходимые исследования проведём для второй системы.

Имеем

Обозначим . Тогда второе неравенство системы принимает вид < - и на координатной плоскости задаёт множество, показанное на рисунке.

Тогда, отсюда.

Ответ : .

Задание 9.

Найти все неотрицательные числа, при которых существует единственное число, удовлетворяющее системе

Решение.

Имеем,

Первое уравнение на координатной плоскости задаёт семейство вертикальных прямых. Прямые и разбивают плоскости на четыре области. Некоторые из них являются решениями неравенства системы. Конкретно какие – можно установить, взяв из каждой области по пробной точке. Та область, точка которой удовлетворяет неравенству, является его решением (такой приём ассоциируется с методом интервалов при решении неравенств с одной переменной). Строим прямые

Например, берём точку и подставляем в Координаты точки удовлетворяют неравенству.

Итак, исходной системе удовлетворяют все точки (и только они), лежащие на лучах и выделенные на чертеже жирными линиями, (т. е. строим точки в заданной области).

Теперь надо найти единственное при фиксированном. Строим параллельные прямые, пересекающие ось. и находим где будет одна точка пересечения с прямой .

Находим по рисунку, что требование единственности решение достигается, если (при уже 2 точки),

где - ордината точки пересечения прямых и,

где – ордината точки пресечения прямых и.

Итак, получаем < .

Ответ: < .

Задание 10.

При каких значениях параметра, а система имеет решения?

Решение.

Разложим на множители левую часть неравенства системы, имеем

Строим прямые и. Показываем на рисунке штриховкой множество точек плоскости, удовлетворяющее неравенству системы.

Тогда абсциссы выделенных дуг гиперболы – решения исходной системы. M , P , N , Q – узловые точки. Найдём их абсциссы.

Для точек P , Q имеем

Остаётся записать ответ: или.

Ответ: или.

Задание 11.

Найти все значения, при которых любое решение неравенства по модулю не превосходит двух ().

Решение .

Перепишем данное неравенство в таком виде. Построим графики уравнений и =.

«Методом интервалов» устанавливаем, что решением исходного неравенства будут заштрихованные области.

Т.е. теперь, если при каком – то фиксированном значении прямая в пересечении с полученной областью даёт лишь точки, абсциссы которых удовлетворяют условию < 2, то – одно из искомых значений параметра.

Итак, мы видим, что.

Ответ: .

Задание 12.

При каких значениях параметра множество решений неравенства содержит не более четырёх целых значений?

Решение.

Преобразуем данное неравенство к виду. Это неравенство равносильно совокупности двух систем

или

Проведём прямые, где. Тогда значение, для которого прямая пересекает прямые не более чем в четырёх точках из отмеченного множества, будет искомым. Итак, мы видим, что или или.

Ответ: или или.

Задание 13.

При каких значениях параметра а имеет решения система

Решение.

Корни квадратного трёхчлена и.

Тогда

Строим прямые и.

Методом «интервалов» находим решение неравенства системы (заштрихованная область).

Значения и находим из системы

Значеня и – из системы.

Ответ:

Задание 14.

В зависимости от значений параметра а решить неравенство > .

Решение.

Перепишем данное неравенство в виде и рассмотрим функцию , которую, раскрывая модули, запишем так:

Непосредственно из рисунка получаем:

при решений нет;

при ;

при.

Ответ: при решений нет;

при ;

при.

Задание 15.

Найдите все значения параметра, при котором система неравенств

удовлетворяется лишь при одном.

Решение.

Перепишем данную систему в таком виде:

Построим область, задаваемую данной системой.

1) , – вершина параболы.

2) - прямая, проходящая через точки и.

Найдём значение:

= (не подходит по смыслу задачи),

Находим ординату:

Ответ: ,

Задание 16.

Найти все значения параметра а, при которых система неравенств

удовлетворяет лишь при одном х.

Решение .

Построим параболы и штриховкой покажем решение последней системы.

2) , .

Из рисунка видно, что условие задачи выполняется при или.

Ответ: или.

Задание 17.

При каких значениях уравнение имеет ровно три корня.

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности

График совокупности - объединение графиков параболы и уголка.

Ответ: при.

Задание 18.

При каких значениях уравнение имеет ровно три решения.

Решение.

Преобразуем левую часть данного уравнения. Получим квадратное уравнение относительно.

Получим уравнение

Которое равносильно совокупности

Находим ординату очки пересечения парабол:

Считываем нужную информацию с рисунка: данное уравнение имеет три решения при или

Ответ: при или

Задание 19.

В зависимости от параметра определить число корней уравнения

Решение .

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно а.

,

.

Получаем совокупность

Ответ: : нет решений;

: одно решение;

: два решения;

или: три решения;

или: четыре решения.

Задание 20.

Сколько решений имеет система

Решение.

Ясно, что количество корней второго уравнения системы равно числу решений самой системы.

Имеем, .

Рассмотрев это уравнение как квадратное относительно, получаем совокупность.

Теперь обращение к координатной плоскости делает задачу простой. Координаты точек пересечения находим, решив уравнение

Вершины парабол и.

Ответ: : четыре решения;

: два решения;

: одно решение;

: нет решений.

Задание 21.

Найти все действительные значения параметра, для которых уравнение имеет только два различных корня. Запишите эти корни.

Решение .

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в скобках:

Считываем с рисунка нужную информацию. Итак, данное уравнение имеет два различных корня при (и) и при (и)

Ответ: при (и) и

при (и).

Задание 2 2 .

Решить систему неравенств:

Решение.

Все точки закрашенной области – решение системы. Разобьём построенную область на две части.

Если и, то нет решений.

Если, то абсциссы точек закрашенной области будут больше абсцисс точек прямой, но меньше абсцисс (большего корня уравнения) параболы.

Выразим через из уравнения прямой:

Найдём корни уравнения:

Тогда.

Если же, то.

Ответ: при и 1 нет решений;

при;

при.

Задание 23.

Решить систему неравенств

Решение.

– вершина параболы.

Вершина параболы.

Находим абсциссы точек пересечения парабол:

В уравнениях парабол выражаем через:

Записываем ответ:

если и, то нет решений;

если, то < ;

если, то.

Задание 24.

При каких значениях, а уравнение не имеет решений?

Решение.

Уравнение равносильно системе

Построим множество решений системы.

Найдем при котором и исключим его.

Итак, при нет решений;

при нет решений;

(замечание: при остальных а есть одно или два решения).

Ответ: ; .

Задание 25.

При каких действительных значениях параметра существует хотя бы одно, удовлетворяющее условиям:

Решение.

Решим графически «методом интервалов» неравенство в и построим график. Посмотрим, какая часть графика попадает в построенную область решения неравенства, и найдём соответствующие значения а .

Строим графики прямых и

Они разбивают координатную плоскость на 4 области.

«Методом интервалов» решим графически последнее неравенство.

Заштрихованная область является его решением. В эту область попадает часть графика параболы. На интервале; (по условию неравенство системы строгое) существуют, удовлетворяющие условиям данной системы.

Ответ:

Задание 26.

Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства.

Решение.

Ответ: или.

Задание 27.

При каких значениях параметра, уравнение имеет единственное решение.

Решение.

Разложим на множители числитель дроби.

Данное уравнение равносильно системе:

Построим график совокупности в координатной плоскости.

или

– точка пересечения прямых и. График совокупности - объединение прямых.

«Выкалываем» точки графика с абсциссами,.

Очевидно, что только при или данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: или.

Задание 28.

При каких действительных значениях параметра система неравенств не имеет решений.

Решение.

Строим прямые. По рисунку определяем, что при (- абсцисса точки пересечения гиперболы и прямой) прямые не пересекают заштрихованную область.

Ответ: при.

Задание 29.

При каких значениях параметра а система имеет единственное решение.

Решение.

Перейдём к системе, равносильной данной.

В координатной плоскости построим графики парабол и Вершины парабол соответственно точки и.

Вычислим абсциссы точек пересечения парабол, решив уравнение

Заштрихованная область – решения системы неравенств. Прямые и

Ответ: при и.

Задание 30.

Решите неравенство:

Решение.

В зависимости от параметра найдём значение.

Неравенство будем решать «методом интервалов».

Построим параболы

: .

Вычислим координаты точки пересечения парабол:

1) Если, то нет решений.

2)Если, то в уравнении выразим через :

Таким образом, в области I имеем.

Если, то смотрим:

а) область II .

Выразим в уравнении через .

Меньший корень,

Больший корень.

Итак, в области II имеем.

б) область III : .

Ответ: при нет решений;

при

при, .

Литература:

Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994.

П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.

Фаддеев Д. К. Алгебра 6 – 8. – М.: Просвещение, 1983 (б – ка учителя математики).

А. Х. Шахмейстер. Уравнения и неравенства с параметрами. Под редакцией Б. Г. Зива. С – Петербург. Москва. 2004.

В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами Минск «Асар», 2002.

А. Х. Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ. Издательство Московского университета, ЧеРо на Неве МЦНМО.

В данном уроке мы рассмотрим более сложные задачи с параметром и решим их графическим методом.

Тема: Повторение

Урок: Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач

1. Решение квадратного уравнения с параметром графическим методом

Пример 1 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Согласно постановке задачи нам не нужно находить значения корней, а только их количество, решаем задачу графическим методом.

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части: . График данной функции нам известен – это парабола, ветви направлены вверх, корни ее легко найти: , отсюда можно найти координаты вершины:

Рис. 2. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при уравнение имеет единственное решение; при уравнение имеет два решения.

2. Решение уравнений с модулями и параметром графическим методом

Пример 2 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график подмодульной функции: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем: , для этого все отрицательные значения функции зеркально отображаются относительно оси х.

Рис. 3. График функций и

Рис. 4. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при два решения; при четыре решения; при три решения.

Пример 3 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Следует учесть, что . Сначала построим график функции . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем . Для этого вспомним, как раскрывается модуль. При положительных х его можно просто отбросить – эта часть графика уже построена. При отрицательных х: , имеем график: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются и находится вершина. Данное построение можно выполнить проще, зная правило: построить график функции без модуля для положительных х и отобразить его симметрично относительно оси у. Выполним построение:

Рис. 5. График функции

Рис. 6. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при два корня; при четыре корня; при три корня.

3. Решение системы неравенств с параметром графическим способом

Пример 4 – решить систему неравенств с параметром:

Система выглядит довольно сложно, упростим ее. Для этого избавимся от логарифмов и корней. В первом неравенстве сравниваются логарифмы с одинаковым основанием, имеем право отбросить знак логарифма, при этом сменив знак неравенства, т. к. основание логарифмов меньше единицы, но не забудем защитить подлогарифмические выражения (учет ОДЗ).

Чтобы избавиться от корней во втором неравенстве возводим его в квадрат, при этом опять же не забываем учесть ОДЗ. Имеем:

Таким образом, имеем систему четырех неравенств:

Приведем подобные члены:

Строим график полученной эквивалентной системы. Решением первого неравенства является полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением второго неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением третьего неравенства является полуплоскость, расположенная под горизонтальной прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением последнего неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая входит, т. к. неравенство не строгое. Иллюстрируем:

Рис. 7. Иллюстрация решения системы неравенств

Чтобы уточнить, что решением системы является треугольник, как это видно по графику, необходимо уточнить координаты точек пересечения.

Пусть точка А – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом алгебраического сложения:

Пусть точка В – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему.

1. Определение личностной мотивации учащихся. Для продолжения образования, для саморазвития и интеллектуального роста необходимо прилежно и осознанно учиться и заботиться о своем здоровье. 2. Выход на понятие «параметр». Параметр – величина, характеризующая основные свойства изменения системы или явления. (толковый словарь)

В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами. Пример: Решить задачу с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

Х у х у a > 0 a 0, (2 корня) 0 a 0, (2 корня)"> 0 a 0, (2 корня)"> 0 a 0, (2 корня)" title="х у х у a > 0 a 0, (2 корня)"> title="х у х у a > 0 a 0, (2 корня)">

Х ууууу хох

2. при уравнение примет вид, и имеет корень х =0. 3. при находим корни уравнения по формуле Ответ: при корней нет; при один корень х =0. при два корня 1. левая часть уравнения неотрицательна при любом значении неизвестной х,. при решений нет. х у 0 у = а «СМОТРИ!» 1 способ (аналитический) 2 способ (графический)

У При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение? Запишем уравнение в виде: х Построим графики функций: Ответ: а =3 и подвижную прямую у = а. а

При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений? х у Построим график По рисунку видим при и прямую у = а. решений нет. а Ответ:

(Графический способ решения задач с параметром) Задачу с параметром можно рассматривать как функцию f (x; a) =0 1. Строим графический образ 2. Пересекаем полученный график прямыми параллельными оси абсцисс 3. «Считываем» нужную информацию Схема решения: !!!

3 Ответ: 1 корень " title="Указать количество корней уравнения f(x)= а при всех значениях параметра а. 1 35-2 1 х а -5 3 1 корень, а3 Ответ: 1 корень " class="link_thumb"> 15 Указать количество корней уравнения f(x)= а при всех значениях параметра а х а корень, а3 Ответ: 1 корень при a 3 2 корня при а=-5, а=3 3 корня при 1 3 Ответ: 1 корень "> 3 Ответ: 1 корень при a 3 2 корня при а=-5, а=3 3 корня при 1 3 Ответ: 1 корень " title="Указать количество корней уравнения f(x)= а при всех значениях параметра а. 1 35-2 1 х а -5 3 1 корень, а3 Ответ: 1 корень "> title="Указать количество корней уравнения f(x)= а при всех значениях параметра а. 1 35-2 1 х а -5 3 1 корень, а3 Ответ: 1 корень ">

Х у у При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня? х у х

1)При а = 3, вершина прямого угла; Найти сумму целых значений параметра а при которых уравнение имеет три корня. Исходное уравнение равносильно совокупности В ыражая параметр а, получаем: Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня в 3 случаях х а а 1 = 3 а 2 = ? а 3 = ? Тогда а = = 5. Ответ. 8. 2) При x 4, а 2 = 5 а 3 а 3 4, а 2 = 5 а 3 а 3">