Как умножать отрицательные. Умножение и деление отрицательных чисел. Примеры деления чисел с разными знаками

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока.

Предметные:

сформулировать правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками,
научить учащихся применять это правило.

Метапредметные:

формировать умения работать в соответствии с предложенным алгоритмом, составлять план-схему своих действий,
развивать навыки самоконтроля.

Личностные:

развивать коммуникативные навыки,
формировать познавательный интерес учащихся.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, презентация PowerPoint, раздаточный материал: таблица для записи правила, тесты.

(Учебник Н.Я. Виленкина “Математика. 6 класс”, М: “Мнемозина”, 2013.)

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение темы урока и запись темы в тетрадях учащимися.

II. Мотивация.

Слайд № 2. (Цель урока. План урока).

Сегодня мы продолжим изучение важного арифметического свойства – умножения.

Вы уже умеете выполнять умножение натуральных чисел – устно и в столбик,

Научились умножать десятичные и обыкновенные дроби. Сегодня вам предстоит сформулировать правило умножения для отрицательных чисел и чисел с разными знаками. И не только сформулировать, но и научиться применять его.

III. Актуализация знаний.

1) Слайд № 3.

Решить уравнения: а) х: 1,8 = 0,15; б) у: = . (Ученик у доски)

Вывод: для решения подобных уравнений нужно уметь выполнять умножение различных чисел.

2) Проверка домашней самостоятельной работы. Повторение правил умножения десятичных дробей, обыкновенных дробей и смешанных чисел. (Слайды № 4 и № 5).

IV. Формулировка правила.

Рассмотреть задачу 1 (слайд № 6).

Рассмотреть задачу 2 (слайд № 7).

В процессе решения задач нам приходилось выполнять умножение чисел с разными знаками и отрицательных чисел. Рассмотрим подробнее это умножение и его результаты.

Выполнив умножение чисел с разными знаками, мы получили отрицательное число.

Рассмотрим другой пример. Найдите произведение (–2) * 3, заменяя умножение суммой одинаковых слагаемых. Аналогично найдите произведение 3 * (–2). (Проверка - слайд № 8).

Вопросы:

1) Каков знак результата при умножении чисел с разными знаками?

2) Как получен модуль результата? Формулируем правило умножения чисел с разными знаками и записываем правило в левый столбик таблицы. (Слайд № 9 и Приложение 1).

Правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками.

Вернёмся ко второй задаче, в которой мы выполняли умножение двух отрицательных чисел. Объяснить по-другому такое умножение довольно трудно.

Воспользуемся объяснением, которое дал ещё в 18 веке великий русский учёный (уроженец Швейцарии), математик и механик Леонард Эйлер. (Леонард Эйлер оставил после себя не только научные труды, но и написал ряд учебников по математике, предназначавшихся воспитанникам академической гимназии).

Итак, Эйлер объяснял результат примерно следующим образом. (Слайд № 10).

Ясно, что –2 · 3 = – 6. Поэтому произведение (–2) · (–3) не может быть равно –6. Однако, оно должно быть как-то связано с числом 6. Остаётся одна возможность: (–2) · (–3) = 6. .

Вопросы:

1) Каков знак произведения?

2) Как получен модуль произведения?

Формулируем правило умножения отрицательных чисел, заполняем правый столбик таблицы. (Слайд № 11).

Чтобы легче запомнить правило знаков при умножении, можно воспользоваться его формулировкой в стихах. (Слайд № 12).

Плюс на минус, умножая,
Ставим минус, не зевая.
Умножим минус с минусом
В ответ поставим плюс!

V. Формирование навыков.

Научимся применять это правило для вычислений. Сегодня на уроке будем производить вычисления только с целыми числами и с десятичными дробями.

1) Составление схемы действий.

Составляется схема применения правила. Делаются записи на доске. Примерная схема на слайде № 13.

2) Выполнение действий по схеме.

Решаем из учебника № 1121(б,в,и,к,п,р). Решение выполняем в соответствии с составленной схемой. Каждый пример поясняет один из учащихся. Одновременно решение демонстрируется на слайде № 14.

3) Работа в парах.

Задание на слайде № 15.

Учащиеся работают по вариантам. Сначала учащийся 1 варианта решает и объясняет решение 2 варианту, учащийся со 2 варианта внимательно слушает, при необходимости помогает и поправляет, а потом учащиеся меняются ролями.

Дополнительное задание для тех пар, которые раньше закончат работу: № 1125.

По окончании работы проводится поверка по готовому решению, размещённому на слайде № 15 (используется анимация).

Если многие успели решить № 1125 , то делается вывод об изменении знака числа при умножении на (?1).

4) Психологическая разгрузка.

5) Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа – текст на слайде № 17. После выполнения работы – самопроверка по готовому решению (слайд № 17 – анимация, гиперссылка на слайд № 18).

VI. Проверка уровня усвоения изученного материала. Рефлексия.

Учащиеся выполняют тест. На этом же листочке оценивают свою работу на уроке, заполняя таблицу.

Тест “Правило умножения”. Вариант 1.

1) –13 * 5

А. –75. Б. – 65. В. 65. Г. 650.

2) –5 * (–33)

А. 165. Б. –165. В. 350 Г. –265.

3) –18 * (–9)

А. –162. Б. 180. В. 162. Г. 172.

4) –7 * (–11) * (–1)

А. 77. Б. 0. В.–77. Г. 72.

Тест “Правило умножения”. Вариант 2.

А. 84. Б. 74. В. –84. Г. 90.

2) –15 * (–6)

А. 80. Б. –90. В. 60. Г. 90.

А. 115. Б. –165. В. 165. Г. 0.

4) –6 * (–12) * (–1)

А. 60. Б. –72. В. 72. Г. 54.

VII. Домашнее задание.

П. 35, правила, № 1143 (а – з), № 1145 (в).

Литература.

1) Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. “Математика 6. Учебник для общеобразовательных учреждений”, - М: “Мнемозина”, 2013.

2) Чесноков А.С., Нешков К.И. “Дидактические материалы по математике для 6 класса”, М: “Просвещение”, 2013.

3) Никольский С.М. и др. “Арифметика 6”: учебник для общеобразовательных учреждений, М: “Просвещение”, 2010.

4) Ершова А.П., Голобородько В.В. “Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса”. М: “Илекса”, 2010.

5) “365 задач на смекалку”, составитель Г.Голубкова, М: “АСТ-ПРЕСС”, 2006.

6) “Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2010”, 3 CD.

Таблица 5

Таблица 6

С некоторой натяжкой то же объяснение годится и для произведения 1-5, если считать, что «сумма» из одного-единственного

слагаемого равна этому слагаемому. Но произведение 0 5 или (-3) 5 так не объяснишь: что означает сумма из нуля или из минус трех слагаемых?

Можно, однако, переставить сомножители

Если мы хотим, чтобы произведение не изменялось при перестановке сомножителей - как это было для положительных чисел - то тем самым должны считать, что

Теперь перейдем к произведению (-3) (-5). Чему оно равно: -15 или +15? Оба варианта имеют резон. С одной стороны, минус в одном сомножителе уже делает произведение отрицательным - тем более оно должно быть отрицательным, если отрицательны оба сомножителя. С другой стороны, в табл. 7 уже есть два минуса, но только один плюс, и «по справедливости» (-3)-(-5) должно быть равно +15. Так что же предпочесть?

Таблица 7

Вас, конечно, такими разговорами не запутаешь: из школьного курса математики Вы твердо усвоили, что минус на минус дает плюс. Но представьте себе, что Ваш младший брат или сестра спрашивает Вас: а почему? Что это - каприз учительницы, указание высшего начальства или теорема, которую можно доказать?

Обычно правило умножения отрицательных чисел поясняют на примерах вроде представленного в табл. 8.

Таблица 8

Можно объяснять и иначе. Напишем подряд числа

Теперь напишем те же числа, умноженные на 3:

Легко заметить, что каждое число больше предыдущего на 3. Теперь напишем те же числа в обратном порядке (начав, например, с 5 и 15):

При этом под числом -5 оказалось число -15, так что 3 (-5) = -15: плюс на минус дает минус.

Теперь повторим ту же процедуру, умножая числа 1,2,3,4,5 ... на -3 (мы уже знаем, что плюс на минус дает минус):

Каждое следующее число нижнего ряда меньше предыдущего на 3. Запишем числа в обратном порядке

и продолжим:

Под числом -5 оказалось 15, так что (-3) (-5) = 15.

Возможно, эти объяснения и удовлетворили бы Вашего младшего брата или сестру. Но Вы вправе спросить, как же обстоят дела на самом деле и можно ли доказать, что (-3) (-5) = 15?

Ответ здесь таков: можно доказать, что (-3) (-5) должно равняться 15, если только мы хотим, чтобы обычные свойства сложения, вычитания и умножения оставались верными для всех чисел, включая отрицательные. Схема этого доказательства такова.

Докажем сначала, что 3 (-5) = -15. Что такое -15? Это число, противоположное 15, т. е. число, которое в сумме с 15 дает 0. Так что нам надо доказать, что

В этой статье мы разберемся с умножением чисел с разными знаками . Здесь мы сначала сформулируем правило умножения положительного и отрицательного числа, обоснуем его, а после этого рассмотрим применение данного правила при решении примеров.

Навигация по странице.

Правило умножения чисел с разными знаками

Умножение положительного числа на отрицательное, а также отрицательного на положительное, проводится по следующему правилу умножения чисел с разными знаками : чтобы умножить числа с разными знаками, надо умножить, и перед полученным произведением поставить знак минус.

Запишем данное правило в буквенном виде. Для любого положительного действительного числа a и действительного отрицательного числа −b справедливо равенство a·(−b)=−(|a|·|b|) , а также для отрицательного числа −a и положительного числа b справедливо равенство (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Правило умножения чисел с разными знаками полностью согласуется со свойствами действий с действительными числами . Действительно, на их основе несложно показать, что для действительных и положительных чисел a и b справедлива цепочка равенств вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0 , которая доказывает, что a·(−b) и a·b – противоположные числа, откуда следует равенство a·(−b)=−(a·b) . А из него следует справедливость рассматриваемого правила умножения.

Следует отметить, что озвученное правило умножения чисел с разными знаками справедливо как для действительных чисел, так и для рациональных чисел и для целых чисел. Это следует из того, что действия с рациональными и целыми числами обладают теми же свойствами, которые использовались при доказательстве выше.

Понятно, что умножение чисел с разными знаками по полученному правилу сводится к умножению положительных чисел.

Осталось лишь рассмотреть примеры применения разобранного правила умножения при умножении чисел с разными знаками.

Примеры умножения чисел с разными знаками

Разберем решения нескольких примеров умножения чисел с разными знаками . Начнем с простого случая, чтобы сосредоточиться на шагах правила, а не на вычислительных сложностях.

Выполните умножение отрицательного числа −4 на положительное число 5 .

По правилу умножения чисел с разными знаками нам сначала нужно перемножить модули исходных множителей. Модуль −4 равен 4 , а модуль 5 равен 5 , а умножение натуральных чисел 4 и 5 дает 20 . Наконец, осталось поставить знак минус перед полученным числом, имеем −20 . На этом умножение завершено.

Кратко решение можно записать так: (−4)·5=−(4·5)=−20 .

(−4)·5=−20 .

При умножении дробных чисел с разными знаками нужно уметь выполнять умножение обыкновенных дробей, умножение десятичных дробей и их комбинаций с натуральными и смешанными числами.

Проведите умножение чисел с разными знаками 0,(2) и.

Выполнив перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь, а также выполнив переход от смешанного числа к неправильной дроби, от исходного произведения мы придем к произведению обыкновенных дробей с разными знаками вида. Это произведение по правилу умножения чисел с разными знаками равно. Осталось лишь перемножить обыкновенные дроби в скобках, имеем .

Отдельно стоит сказать об умножении чисел с разными знаками, когда один или оба множителя являются

Теперь давайте разберемся с умножением и делением .

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом. Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

положительное число х положительное число = положительное число;
отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для.

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.

В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками . Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.

Навигация по странице.

Правило деления чисел с разными знаками

В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками . Его можно распространить и на рациональные числа , и на действительные числа , повторив все рассуждения из указанной статьи.

Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.

Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .

Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.

Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.

Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b , нужно число a умножить на число b −1 , обратное числу b . То есть, a:b=a·b −1 .

Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.

Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.

Это же правило используется при делении отрицательных чисел .

Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.

Примеры деления чисел с разными знаками

Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками , чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.

Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7 .

Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35 , а модуль числа 7 равен 7 . Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7 . Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел , получаем 35:7=5 . Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5 .

Вот все решение: .

Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7 . Этим числом является обыкновенная дробь 1/7 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками : . Очевидно, мы пришли к такому же результату.

(−35):7=−5 .

Вычислите частное 8:(−60) .

По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4 , получаем .

Запишем все решение кратко: .

При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.

Модуль делимого равен, а модуль делителя равен 0,(23) . Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.

Теперь давайте разберемся с умножением и делением .

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

положительное число х положительное число = положительное число;
отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .